数学阅读能力的培养研究

厉小康

（浙江金华一中，浙江金华321017）

当今数字时代的知识时刻在更新，学校与教师显然不可能为学生准备足够的生存与发展所需要的知识，但必须而且能够使学生具备不断获取新知的能力——学习能力。而阅读属于信息输入加工形式，是人类汲取知识的重要手段和认识世界的重要途径，是从书面材料中获取信息的过程^[1~3]，因此，阅读能力是学生可持续发展能力的一个重要标志。

数学是一门科学，也是一种文化，更是一种语言，是描述科学的语言。苏联著名数学教育家斯托利亚尔早就指出：“数学教学也就是数学语言的教学。”因此，从语言学习的角度讲，数学教学必须重视数学阅读，作为数学教师应改变轻视数学阅读的传统观念，重视对学生数学阅读能力的培养。

1数学阅读的重要性

听、说、读、写一向被认为是语文的事，人们对数学阅读存在片面的认识：数学比较抽象，教师教都不会，学生自己看更不懂；或者认为只要学生上课认真听讲，即可掌握本节知识内容，勿需学生进行数学阅读；或者认为学生在数学阅读后，会影响学生听课的注意力；或者怀疑学生的阅读能力，学生的数学阅读要依赖于教师的阅读提纲或紧扣教师提出的问题．在课堂教学中，有些教师常在布置作业时才让学生打开课本，已开展的一些数学阅读大多只停留在提纲式阅读层次，学生也只是在做作业碰到问题时才去翻开课本，缺少数学阅读的习惯，这种状况对学生的包括阅读能力在内的自学能力的培养与提高是不利的。

素质教育强调“学生主体”——教是为了不教，所以一切教学活动，必须按照学生的身心发展规律创设条件，促使学生学习的顺利进行，实现主动地、生动地学习，并学会学习，增强自我发展的后劲^[4]。而培养学生的阅读习惯和阅读能力是提高学生学习素质的最基础的一项活动．面向21世纪的需要，着眼于全面提高学生素质而制定的新大纲，编写的新教材，在这一方面作了最为充分的体现，为了便于学生阅读和表达，将集合与简易逻辑作为中学数学的基础和数学语言安排在全套教材的章首，为了适应各个层次学生的不同需要，将教材分为必修课与选修课，而且每章安排了1~2个阅读材料，供学生课外阅读，内容从数学发展的典故到知识的拓宽，再到实际应用，等等。由此看到，培养和提高学生的阅读能力也是势在必行且迫在眉睫。

数学是思维的体操，语言是思维的载体，思维需要用语言或文字来表达，所以阅读能力是构成思维能力的最基础成分^[5]。在高考中应用题得分率不理想的一个很重要原因就是由于文字表达偏长，学生阅读理解能力差，不能完整领会、串通题意，不能有层次地完成文字语言到数学语言的转化，难以把实际问题抽象概括成数学问题造成的。这一现象也说明了培养学生数学阅读能力的重要性。

数学阅读的重要性还体现在其有重要的教育价值，具体而言，数学阅读能促进学生数学语言水平的发展，能促进学生认知水平的发展，有助于学生探究能力的发展，有助于学生自学能力的培养和提高等。对此，文^[6]已做了论述，这里不再赘述。

2数学阅读的特殊性

数学阅读与语文阅读也有共同之处，都需要认读、理解、鉴赏，都讲究阅读记忆、阅读速度、阅读技巧，但数学阅读不能等同于语文阅读，数学阅读有其自己的特殊性，主要表现在以下几个方面：

（1）数学材料主要由数学语言组成，数学语言具有无歧意、简洁、各学科通用的特点，其中文字语言、图形语言、数学符号语言在一般情况下可进行转译；

（2）数学材料主要用归纳和演绎的方法来呈现，体现一定的严谨性．如立体几何从平面的3个公理和平行线的传递性出发，讨论了直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，采用了“公理化”方法，结构比较严谨；

（3）数学材料中蕴含着丰富的数学思想。数学阅读就是要领会其中的数学思想，形成自己的数学观念，掌握数学方法，提高自己在数学意识、数学思维、数学技能和问题解决、数学语言与信息交流方面的数学素质。

3数学阅读的指导

要指导学生数学阅读，教师自身首先要做阅读的楷模，并将自身体会介绍给学生。

3.1  指导学生数学地把握阅读环节

笔者认为，“层次、结构、概括”是数学阅读的基本环节。“层次”指阅读材料的层次，并逐层进行意义剖析。“结构”指理顺各层之间的关系，形成对阅读材料的整体认识。“概括”指在层次、结构的基础上对阅读材料进行抽象和概括，以实现由感知到觉悟的飞跃。

3.2  指导学生掌握科学有效的数学阅读方法

数学阅读应充分利用数学知识的逻辑特点，引导学生在阅读过程中，积极开展自我启发思维，对教材中提供的“原材料”主动进行抽象、概括、分析、综合、归纳、猜想，从而自我构建起实质意义上的、而非人为的数学知识“产品”，进而将知识产品纳入到已有的认知结构中去。因此，在数学阅读方法指导上，教师应要求学生破除语文式阅读习惯，在阅读过程中应不断地在适当的地方暂停下来，而进行主动思考，力求做出一些个人猜测、估计，养成主动式阅读习惯。这里适当的地方是指如下醒示语处：“根据……可以归纳得出……”，“也具有类似性质，就是……”，“从上面例子可看出……”，“一般地，有……”，“想一想，……”等，以及概念定义后对概念的进一步认识，公式和定理等给出后的主动探证，例题内容看后的主动分析，解证过程中某一步思索等。

数学阅读的核心在于理解，这里面包括了阅读时通过联想建立新旧知识间的联系，使知识系统化，发现问题和指出问题。如在阅读立体几何中异面直线所成角及它们间的距离这一节时，除了抓住概念中的关键词外，还应思考：（1）为什么要引进异面直线所成角与距离这两个概念？（2）新概念与平面中直线与直线所成角和距离有何联系？（3）为什么要这样定义？（4）如何用图形语言、符号语言来表述新概念？（5）如何求异面直线所成的角和距离？

3.3  指导学生做好阅读笔记

笔记是对付遗忘的有力武器，是积累认知经验，提高认知水平的重要途径．因此，必须记好和用好笔记，尤其要注意以下3种类型的笔记：

3.3.1  疑问性笔记

在阅读中遇到疑难时，除了在阅读材料上圈点外，最好专门备本子或卡片做摘录，系统记录自己知识和能力的不足，以便更有针对性地突破；同时在阅读时要着力发掘并记录问题及处理问题的想法。建立自己的“疑问集”，它将成为你进步和创新的起点。

例如，高中新教材《数学》（必修）第二册（下A）棱柱的定义为：“有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫棱柱”，由“每相邻两个四边形的公共边都互相平行”即知“其余各面的四边形都是平行四边形”，因此，对此定义，有相当多学生感觉很繁琐，并感到很困惑，根据定义的简洁原则，为什么棱柱的定义不简化为“有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，这些面围成的几何体叫棱柱”呢？这个问题对一个初学者来说，是较难回答的，建议学生先在课本中打一问号，并记录在自己的“疑问集”中，等学完本章节后再来研究，寻找反例。

3.3.2  感触性笔记

在阅读中，有所感、有所悟或有所发现的，都应及时做记录，或做眉批，或做卡片，或做本子。你所记下的可能是一闪而过的、难以重现的智慧火花，你积累起来的“火花集”，将会成为你最为宝贵的财富。

例1求sin10°+cos40°+sin10°cos40°2222的值。

看完解答（其答案为3/4）后，学生觉得10°与40°角之间是否存在某种内在的联系，并发现“10°、40°”改为“20°、50°”后其值仍为，经研究可以发现更多的问题或结论：

           sin²a+cos²（a+30°）+sinacos（a+30°）

的值是否仍为3/4？

若         sin²a+cos²β+sincos2β=3/4，

则α、β之间有什么关系？等等，将这些发现及时记录。

3.3.3  梳理性笔记

如果说疑问性笔记和感触性笔记是阅读由“薄”到“厚”的过程的话，那么梳理性笔记就是阅读由“厚”到“薄”的过程．梳理性笔记是对阅读内容不断提炼的记录．比如，以问题为核心可按如下框架（图1）提炼：

图1问题梳理

例2给定双曲线x²-y²/2=1，过点A(1,1)能否作直线m与双曲线交于点M₁和M₂，且使点A平分线段M₁M₂？如果存在，则求出直线m的方程。

解设点M1(x₁,y₁₎，M2(x₁,y₂)，弦M1M2中点坐标(x₀，y₀)，其中2x₀ =x₁+x₂，2y₀ =y₁+y₂，则有x₁²−y₁²/2=1，x₂²−y₂²/2=1，2式相减得，

(x₁)-(x₂)(x₁)+(x₂)-1/2(y₁)-(y₂)(y₁)+(y₂)=0.

设弦M1M2的斜率k=y_1-y₂/x_1-x₂，，于是

x₀−1/2ky₀=0．        （☆）

若A(1,1)是弦M₁M₂的中点，即x₀=1，y₀=1，再由（☆）式得k=2，所以直线m的方程为y−1=2(x−1)，即y=2 x−1（☆☆），但将（☆☆）代入x²−y²/2=1得x²-2x+3/2=0，∆=−2<0，故这样的直线m不存在。

我们不能仅仅懂得这道题的解法，还应作点梳理归纳，如下：

   （1）这里只是将弦的端点的坐标设出但没有求出（设而不求），体现了数学中的整体思想。

   （2）上述解法中的等式（☆）反映了弦中点的坐标与弦斜率之间的关系，因此，对于圆锥曲线的弦中点问题，常常用上述解法（设而不求）来解决。

  （3）用上述解法来解弦中点问题时，因无法确保直线与圆锥曲线相交，故还需要对结果进行检验，这点要特别注意。

4  数学阅读能力的培养措施

4.1  培养学生数学阅读的兴趣和习惯

首先，让学生认识到数学阅读的价值及重要性，让学生在思想上重视数学阅读；其次，让学生在数学阅读中像阅读文学作品时欣赏文学作品的魅力般地去欣赏、去感受数学中的各种数学美，如对称美，和谐美，奇异美等，体验到数学阅读的乐趣；再次，让学生体会到数学阅读对自己数学水平的提高和知识的掌握所带来的帮助，感受到数学阅读的效果；另外，教师还可通过紧扣概念，置疑问难等方式，将学生的注意力引导到“数学阅读”中来。让学生通过对照阅读材料来解决问题或发现新问题、新结论，获得一种阅读成功的愉悦感，强化学生阅读动机，提高学生阅读兴趣和主动性。

有时，让学生去寻找教材上的概念或例题中存在的“漏洞”，也是激发学生阅读积极性的一种手段。例如，新教材高中数学第二册（上）第八章第三节“抛物线”，学生在阅读后发现课本给出的抛物线的定义：“平面内与一个定点F和一定直线I的距离相等的点的轨迹叫抛物线”存在漏洞，提出以下问题：

只有当定点F不在定直线l上时，其轨迹才是抛物线。

若定点F在定直线l上时，其轨迹是过定点F且垂直于定直线l的直线。

此时，教师要充分肯定学生的发现，加以表扬与鼓励。

4.2重视数学教材的阅读

数学教科书是数学课程的具体化，不仅是数学教学的主要依据，而且是学生进行学习获得系统知识的主要材料，它体现了数学的科学性和思想性，在加强数学基础知识和基本技能的同时结合现实生产、生活、社会实际，并适当渗透先进的科学思想，既反映了作为科学的数学的特点，又考虑到学生学习的心理顺序，是培养学生阅读能力的最佳材料。当前正在实验的高中新教材中的每章都安排了1~2个阅读材料，内容涉及知识的引伸拓宽、知识的应用及数学发展的小故事，一方面是为了拓宽学生的知识面，另一方面旨在培养和提高学生的阅读能力和自学能力。

然而，传统教学突出了教科书是教师实施教的主要材料，而忽视了教科书也是学生学的主要材料，一般数学教学由教师对数学内容处理后去影响学生的数学学习，这种处理会有即时效果，但减少了学生与教材直接接触的机会，若每堂课都如此，是不利于学生阅读习惯的养成及阅读能力的提高。叶圣陶有一句名言：“讲是为了不讲，教是为了不教。”因此教师要加强对学生学法的指导，但又要坚持凡是学生能看的让学生自己看，凡是学生能想的让学生自己想，凡是学生能做的让学生自己做，凡是学生能说的让学生自己去说。

4.3强化数学语言训练

数学阅读不同于语文阅读，有其特殊性。对3种数学语言（即文字语言、符号语言、图形语言）的准确把握及它们之间的灵活转化，是数学阅读理解能力中极其重要的方面，也是数学阅读有别于其他阅读的最显著特点。高中新教材中特别注意3种数学语言间的转化，尤其在立体几何，如第九章，几乎每个公理、定理，均以3种数学语言的形式出现，因此，提高学生对数学语言的认识，在教学中注重数学语言的强化训练是十分必要的，也是培养与提高学生数学阅读能力的有效措施之一。

例如，在学习了等差数列后，再学习等比数列时，要让学生在阅读教材的基础上，尝试用3种数学语言来表述等比数列概念．假如学生只对“文字语言”给出的等差（比）数列概念进行阅读理解，是很难使学生真正理解或把握等差（比）数列的概念，也很难推导出等差（比）数列的性质。

4.4让学生学会说题

所谓说题，就是让学生通过阅读问题所呈现的材料，进行分析思考，说出题目所提供的信息条件、现象过程、解题思路及应采用的规律方法等．说题过程是学生通览全题、说明题目要素，剖析字句、明确题目条件，探索解题思路、思考解题步骤的过程，也是学生在阅读理解基础上，通过独立思考、比较分析、形成个人见解的思维过程。让学生学会说题，又是一条训练学生阅读理解能力的有效途径。

例3为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2m的无盖长方体沉淀箱．污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出。设箱体的长度为a m，高度为b m。已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积成反比。现有制箱材料60 m²，问当a，b各为多少m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）。

对于数学的应用问题，通常的方法是先通读全文，了解实际背景，再逐句理解，抓住关键词句，领悟数学实质，把研究的对象从背景中抽象出来．如关键词有“杂质”、“沉淀”、“无盖”、“质量分数”、“反比”、“最小”等，关键句有“已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积成反比”，“现有制箱材料60 m²”。从中获得解题目标：y=k/ab（k>0为比例系数），且有2a+4b+2ab=60。

通过说题，让学生在对问题所呈现的材料进行阅读理解的基础上，将问题的实质，问题中的数学条件及所涉及的数学知识等，用自己的语言表达出来，不但表达自己对问题的理解，也表达解决问题的基本思路，通过表达，加深了理解，并获得成功的喜悦。

4.5改进教学方法并加强数学阅读

数学阅读，在当前数学教学中仍未引起足够的重视和普及，数学教师本身首先应加深对数学阅读的价值及数学阅读在数学素质教育中的重要作用的认识，自觉改进教学方法，主动将数学阅读纳入到课堂的教学环节中去，使之与讲授、练习等有机地结合在一起，共同构筑课堂教学的最优结构．

案例  在学习高中课本《代数》下册（必修）第八章复数中的“§8.3复数的向量表示”这一节内容时，笔者这样进行阅读教学，现摘录如下。

（1）请同学们阅读课本180~181页3个自然段，并思考以下问题。

①概括各自然段所讲问题。

②对第一自然段分层，并指出各层含义。

③为什么复数可用向量表示？

④指出|z|=|a+bi|=|OZ|=22a+b中各式的意义。

（2）请一个同学朗读课文第一自然段，朗读完各层时自动停止，并指出该层所讲问题或你对该层的理解。第一层，向量的定义，学生无问题。第二层，找到分层的地方无问题，但对该层的意义理解有误。学生认为，该层的意义是讲向量的模。实际上，该层是讲向量的表示，用什么表示，怎样表示的问题，并提出向量模的概念。第三层的含义是相等向量的规定及其好处。该层有两句话，学生不理解这两句话的联系，错误地将第一句话单独作为一层。第四层，讲的是零向量。但学生不能清楚地回答出，该层的两句话讲了3个问题：一是零向量的定义；二是零向量的方向规定；三是所有零向量相等的规定。

教师总结第一自然段：

向量的有关概念：①定义；②向量的表示；③向量的相等及其在实际问题中的应用；④零向量及有关规定。

（3）请一个同学朗读第二自然段，并回答复数为什么可用向量表示？然后请同学们思考复数与向量表示，点的坐标之间有什么关系？

教师总结：

因此，为方便起见，我们常把复数z=a+bi说成点Z或说成向量OZ。

（4）请一个同学概括第三自然段的含义．谈谈对等式|z|=|a+bi|=|OZ|=22a+b的认识，并比较复数的模与实数的绝对值这两个概念。

    教师总结：本自然段所讲问题是复数的模（或绝对值）．“|z|”与“|a+bi|”是复数模的记号，即表示方法；|OZ|是复数模的实质，即有向线段OZ的长度r；“22a+b”是复数模的计算方法。

本节内容经过上述处理，学生通过听、说、读、写等，积极调动各种感觉器官，更好地促使学生的头脑进行思维活动，充分体现学生的主体地位，后续内容的教学实践表明，本节课取得了良好效果。同时，让学生认识到：（1）一篇数学课文就是一篇规范的说明文，对数学课文进行阅读时，既要理清文章结构、中心、段落大意，更要理解数学知识并理清它们之间的逻辑关系等；（2）阅读不能仅仅停留在表面层次，应始终伴随大脑深入思考。在阅读过程中，要善于发现问题、提出问题，养成带着问题进行阅读的习惯，及时记下自己的疑问或想法，并随着阅读的深入来解决问题，当然，也可能暂时无法解决；（3）数学阅读不能仅限于数学概念的内容上，而应该是对包括例题、习题等在内的全方位阅读。对例题、习题的阅读，可以提炼出数学思想方法、解题技巧等，而且有的例题或习题本身就是一些优美的结论，是对课文的补充或延续。

参考文献

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